JavaScript数据结构——图的实现

  • 时间:
  • 浏览:3
  • 来源:大发时时彩_时时彩单双计划_大发时时彩单双计划

  在计算机科学中,图是这一网络形状的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。另一一三个图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了另一一三个图的形状:

  在介绍何如用JavaScript实现图前一天,大伙儿先介绍本来我和图相关的术语。

  如上图所示,由一根绳子 边连接在一并的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。另一一三个顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另一一三个顶点相连,本来我A的度为3,E和其它另一一三个顶点相连,本来我E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图含高晒 路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不含高晒 重复的顶点,肯能将的最后另一一三个顶点上加,它也是另一一三个简单路径。例如路径ADCA是另一一三个环,它都不 另一一三个简单路径,肯能将路径中的最后另一一三个顶点A上加,好难它本来我另一一三个简单路径。肯能图中不发生环,则称该图是无环的。肯能图中任何另一一三个顶点间都发生路径,则该图是连通的,如上图本来我另一一三个连通图。肯能图的边好难方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,肯能另一一三个顶点间在双向上都发生路径,则称这另一一三个顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。肯能有向图中的任何另一一三个顶点间在双向上都发生路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还能好难是加权的。前面大伙儿看得人的图都不 未加权的,下图为另一一三个加权的图:

  能好难想象一下,前面大伙儿介绍的树和链表也属于图的这一特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,例如大伙儿能好难搜索图中的另一一三个特定顶点或一根绳子 特定的边,肯能寻找另一一三个顶点间的路径以及最短路径,检测图中算不算发生环等等。

  发生多种不同的妙招来实现图的数据形状,下面介绍几种常用的妙招。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,大伙儿用另一一三个二维数组来表示图中顶点之间的连接,肯能另一一三个顶点之间发生连接,则这另一一三个顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,假如为0。下图是用邻接矩阵妙招表示的图:

  肯能是加权的图,大伙儿能好难将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵妙招发生另一一三个缺点,肯能图是非强连通的,则二维数组中会有本来我的0,这表示大伙儿使用了本来我的存储空间来表示根本不发生的边。曾经缺点本来我当图的顶点发生改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外这一实现妙招是邻接表,它是对邻接矩阵的这一改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,大伙儿能好难用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  大伙儿还能好难用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的清况 下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵妙招表示的图:

  下面大伙儿重点看下何如用邻接表的妙招表示图。大伙儿的Graph类的骨架如下,它用邻接表妙招来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中上加另一一三个新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中上加a和b另一一三个顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,大伙儿用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据形状——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每另一一三个顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面大伙儿给出的邻接表的示意图。假如在Graph类中,大伙儿提供另一一三个妙招,妙招addVertex()用来向图中上加另一一三个新顶点,妙招addEdge()用来向图中上加给定的顶点a和顶点b之间的边。让大伙儿来看下这另一一三个妙招的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要上加另一一三个新顶点,首好难判断该顶点在图中算不算肯能发生了,肯能肯能发生则好难上加。肯能不发生,就在vertices数组中上加另一一三个新元素,假如在字典adjList中上加另一一三个以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 肯能图中好难顶点a,先上加顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 肯能图中好难顶点b,先上加顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中上加指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中上加指向顶点a的边
}

  addEdge()妙招也很简单,首好难确保给定的另一一三个顶点a和b在图中需要发生,肯能不发生,则调用addVertex()妙招进行上加,假如分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中上加另一一三个新元素。

  下面是Graph类的完整篇 代码,其中的toString()妙招是为了大伙儿测试用的,它的发生都不 需要的。

  对于本文一结束了了给出的图,大伙儿上加下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  能好难看得人,与示意图是相符合的。

  和树例如,大伙儿才能好难对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历妙招分为这一:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和层厚优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历能好难用来寻找特定的顶点或另一一三个顶点之间的最短路径,以及检查图算不算连通、图中算不算含高 环等。

  在接下来要实现的算法中,大伙儿按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问假如被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第另一一三个顶点结束了了遍历图,先访问这一顶点的所有相邻顶点,假如再访问什么相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  肯能大伙儿采用邻接表的妙招来存储图的数据,对于图的每个顶点,都不 另一一三个字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于这一数据形状,大伙儿能好难考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,假如依次避免队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将结束了了顶点存入队列。
  2. 遍历结束了了顶点的所有邻接顶点,肯能什么邻接顶点好难被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),假如加入队列。
  3. 将结束了了顶点标记为被避免(颜色为黑色)。
  4. 循环避免队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()妙招接收另一一三个graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要何如避免被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),什么颜色保发生以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性能好难通过getVertices()和getAdjList()妙招得到,假如构造另一一三个队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据形状——队列的实现与应用》),按照中间描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面大伙儿给出的测试用例的基础上,上加下面的代码,来看看breadthFirstSearch()妙招的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也本来我大伙儿用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,大伙儿将顶点I装下 最中间。从顶点I结束了了,首先遍历到的是它的相邻顶点E,假如是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D肯能被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G肯能被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,大伙儿能好难使用它做更多的事情,例如在另一一三个图G中,从顶点v结束了了到其它所有顶点间的最短距离。大伙儿考虑一下何如用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另一一三个相邻顶点间的距离为1,从顶点v结束了了,在其路径上每经过另一一三个顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()妙招的改进,用来返回从起始顶点结束了了到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()妙招中,大伙儿定义了另一一三个对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及什么顶点的前置顶点。BFS()妙招需要callback回调函数,肯能它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()妙招的逻辑例如,只不过在结束了了的前一天将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,假如在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。大伙儿仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A结束了了到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()妙招的返回结果为基础,通过下面的代码,大伙儿能好难得出从顶点A结束了了到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类能好难参考《JavaScript数据形状——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上大伙儿说的都不 未加权的图,对于加权的图,广度优先算法暂且是最大约的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

层厚优先

  层厚优先算法从图的第另一一三个顶点结束了了,沿着这一顶点的一根绳子 路径递归查找到最后另一一三个顶点,假如返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,层厚优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是层厚优先遍历的示意图:

  大伙儿仍然采用和广度优先算法一样的思路,一结束了了将所有的顶点初始化为白色,假如沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,肯能顶点被探索过(避免过),则将颜色改为黑色。下面是层厚优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第另一一三个顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数内部,肯能顶点A被访问过了,本来我将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(肯能发生),假如遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,本来我将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,本来我将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,本来我将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I好难邻接节点,假如将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E好难其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的曾经邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,本来我将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F好难邻接节点,假如将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第3个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,本来我将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,本来我将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,本来我将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G好难邻接节点,假如将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的曾经邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,本来我将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H好难邻接节点,假如将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的曾经邻接节点G,肯能G肯能被访问过,对C的邻接节点的遍历结束了了。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后另一一三个邻接节点D,肯能D肯能被访问过,对A的邻接节点的遍历结束了了。将A设置为黑色。
  17. 假如对剩余的节点进行遍历。肯能剩余的节点都被设置为黑色了,本来我应用应用程序结束了了。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,大伙儿将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,层厚优先算法的数据形状是栈,然而这里大伙儿并好难使用栈来存储任何数据,本来我使用了函数的递归调用,随便说说递归也是栈的这一表现形式。另外本来我,肯能图是连通的(即图中任何另一一三个顶点之间都发生路径),大伙儿能好难对上述代码中的depthFirstSearch()妙招进行改进,只需要对图的起始顶点结束了了遍历一次就能好难了,而需要遍历图的所有顶点,肯能从起始顶点结束了了的递归就能好难覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了层厚优先算法的工作原理,大伙儿能好难使用它做更多的事情,例如拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort肯能toposort)。与广度优先算法例如,大伙儿也对中间的depthFirstSeach()妙招进行改进,以说明何如使用层厚优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()妙招会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,大伙儿假定时间从0结束了了,每经过一步时间值加1。在DFS()妙招中,大伙儿用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(这一和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这另一一三个值。这里需要注意的是,变量time并非 被定义为对象而都不 另一一三个普通的数字,是肯能大伙儿需要在函数间传递这一变量,肯能本来我作为值传递,函数内部对变量的修改我太久 影响到它的原始值,假如大伙儿本来我需要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,本来我采用值传递的妙招显然不行。假如大伙儿将time定义为另一一三个对象,对象被作为引用传递给函数,曾经在函数内部对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()妙招的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  大伙儿将结果反映到示意图上,曾经更加直观:

  示意图上每另一一三个顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整篇 完成时间是18,能好难结合前面的层厚优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一并大伙儿也看得人,层厚优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序好难应用于有向无环图(DAG)。基于中间DFS()妙招的返回结果,大伙儿能好难对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到大伙儿需要的拓扑排序结果。

  肯能要实现有向图,只需要对前面大伙儿实现的Graph类的addEdge()妙招略加修改,将最后一行删掉。当然,大伙儿才能好难在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  假如大伙儿对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章大伙儿将介绍何如用JavaScript来实现各种常见的排序算法。